1: LaTEX examples
Ejemplo de fórmulas LaTeX¶
Página de muestra para probar las macros latex y latex_block de
Redmine Cbots LaTeX. Cópiala en una página wiki o en un texto que procese las
macros de Redmine. MathJax necesita que el navegador pueda acceder a jsDelivr.
Mecánica¶
Segunda ley de Newton:
Ley de gravitación universal:
Ley de Hooke para un muelle ideal:
Ecuación de ondas¶
La ecuación de ondas unidimensional describe, entre otros fenómenos, la
propagación de una perturbación por una cuerda tensa:
Aquí, u es la perturbación y c la velocidad de propagación.
Termodinámica¶
Primera ley, tomando W como el trabajo realizado por el sistema:
Ecuación de estado del gas ideal:
Rendimiento máximo de una máquina térmica reversible de Carnot, con
T_c < T_h y temperaturas absolutas:
Geometría¶
Teorema de Pitágoras:
Longitud de una circunferencia y área del círculo de radio r:
Área y volumen de una esfera de radio r:
Primitivas (integrales indefinidas)¶
En todas las filas, C es una constante de integración. Las condiciones
indican los valores para los que se aplica cada fórmula.
| Integrando | Primitiva | Condición |
|---|---|---|
| \(x^n\) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) | \(n\ne -1\) |
| \(1/x\) | \(\ln\lvert x\rvert+C\) | \(x\ne 0\) |
| \(e^{ax}\) | \(\frac{e^{ax}}{a}+C\) | \(a\ne 0\) |
| \(\sin(ax)\) | \(-\frac{\cos(ax)}{a}+C\) | \(a\ne 0\) |
| \(\cos(ax)\) | \(\frac{\sin(ax)}{a}+C\) | \(a\ne 0\) |
| \(1/(1+x^2)\) | \(\arctan x+C\) | — |
| \(\sec^2(ax)\) | \(\frac{\tan(ax)}{a}+C\) | \(a\ne 0\) |
Derivadas¶
En la tabla, u=u(x) y v=v(x) son funciones derivables; u' y v'
representan sus derivadas respecto a x.
| Función | Derivada | Condición |
|---|---|---|
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | Para exponentes reales, donde la función esté definida |
| \(e^{ax}\) | \(ae^{ax}\) | — |
| \(\ln x\) | \(\frac{1}{x}\) | \(x>0\) |
| \(\sin(ax)\) | \(a\cos(ax)\) | — |
| \(\cos(ax)\) | \(-a\sin(ax)\) | — |
| \(\tan(ax)\) | \(a\sec^2(ax)\) | Donde \(\cos(ax)\ne 0\) |
| \(u+v\) | \(u'+v'\) | — |
| \(uv\) | \(u'v+uv'\) | Regla del producto |
| \(u/v\) | \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\) | \(v\ne 0\) |
| \(f(u)\) | \(f'(u)u'\) | Regla de la cadena |
Transformada de Fourier¶
Usamos la convención
\(\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt\).
La función \operatorname{sinc}(x) se define como
\(\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}\), con valor 1 en x=0.
| Señal \(f(t)\) | Transformada \(F(\omega)\) | Condición |
|---|---|---|
| \(e^{-a\lvert t\rvert}\) | \(\frac{2a}{a^2+\omega^2}\) | \(a>0\) |
| \(e^{-at}u(t)\) | \(\frac{1}{a+i\omega}\) | \(a>0\) |
| \(e^{-t^2/(2\sigma^2)}\) | \(\sigma\sqrt{2\pi}\,e^{-\sigma^2\omega^2/2}\) | \(\sigma>0\) |
| \(\operatorname{rect}(t/T)\) | \(T\,\operatorname{sinc}(\omega T/2)\) | \(T>0\); \(\operatorname{rect}(y)=1\) si \(\lvert y\rvert<1/2\) |
u(t) es el escalón unitario. La última pareja usa el pulso rectangular
centrado, de anchura T.
Transformada de Laplace¶
Usamos la transformada unilateral:
\(\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt\).
La columna de convergencia indica una región suficiente para estas parejas.
| Función \(f(t)\) | Transformada \(F(s)\) | Convergencia |
|---|---|---|
| \(1\) | \(\frac{1}{s}\) | \(\operatorname{Re}(s)>0\) |
| \(t^n\) | \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) | n entero no negativo; \(\operatorname{Re}(s)>0\) |
| \(e^{at}\) | \(\frac{1}{s-a}\) | \(\operatorname{Re}(s)>a\) |
| \(\sin(\omega_0t)\) | \(\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}\) | \(\operatorname{Re}(s)>0\) |
| \(\cos(\omega_0t)\) | \(\frac{s}{s^2+\omega_0^2}\) | \(\operatorname{Re}(s)>0\) |
| \(u(t-a)\) | \(\frac{e^{-as}}{s}\) | \(a\geq 0\); \(\operatorname{Re}(s)>0\) |
Fórmula en línea¶
Las macros también se pueden usar dentro de un párrafo: la energía en reposo
de una masa m es \(E=mc^2\). Esta forma compacta resulta útil para
probar que una fórmula no interrumpe el flujo de lectura.
